Multiplicação usando os dedos

Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5x5. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n.
Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.

Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na figura seguinte.

Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contacto) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, 3x2, ou seja 6, dando no total 56.

 Como é isto possível?

Ao calcular p x q ( p,q = 6, 7, 8, 9 ), juntam-se p - 5 dedos na mão esquerda e ficam 10 - p dedos. Na mão direita juntam-se q - 5 dedos e sobram 10 - q dedos. A soma dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, 10 ( p - 5 + q - 5 ). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, ( 10 - p )( 10 - q ).

Assim, o resultado é, 10 ( p - 5 + q - 5 ) + ( 10 - p )( 10 - q )

ou seja,  10p - 50 + 10q - 50 + 100 - 10q - 10p + pq = p x q
Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia.

Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.

Os dedos e a tabuada do 9

Este subcapítulo apresenta um processo de multiplicar um algarismo por 9 usando os dedos. Associa-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar.

Para saber o resultado de uma multiplicação por 9, levantam-se os 10 dedos das mãos.

O produto de 9 x n vê-se baixando o n-ésimo dedo a contar da esquerda para a direita. Por exemplo,  9 x 4 corresponde a baixar o 4º dedo. Ficam 3 dedos levantados antes do dedo que se baixa, e 6 depois. O que significa 36, que é o resultado pretendido, como se observa na figura seguinte.

Do mesmo modo se faz para 9 x 9, como ilustra a imagem.

Mas, porque é que isto se verifica?

Baixando o n-ésimo dedo, ficavam então (n - 1), dedos levantados à esquerda, o número das dezenas, e 10-n dedos levantados à direita, o número das unidades. 

Então, 10(n - 1) + (10 - n) = 10n - 10 + 10 - n = 9 x n.